> Ile czasu na odpowiedź ma urzędnik?

Organy obowiązane są załatwiać sprawy bez zbędnej zwłoki. Oznacza to,
że w zasadzie wszystkie sprawy powinny być załatwiane niezwłocznie.
Jedynie w niektórych przypadkach, dopuszczalny jest dłuższy termin.
Jeżeli dobrze zrozumiałem, w Twoim przypadku chodzi o postępowania
odwoławcze, w takim przypadku sprawa powinna być załatwiona w
nieprzekraczalnym, miesięcznym terminie.

> Czy czas liczy się do momentu podjęcia decyzji czy do dostarczenia do odpowiedniej
osoby?

Pod pojęciem załatwienia sprawy należy rozumieć wyjaśnienie stanu
faktycznego, wydanie dycyzji i jej doręczenie stronie. Oczywistym
wydaje się więc, że czas liczy się do momentu doręczenia decyzji
stronie. Wziąć jednak należy pod uwagę, że doręczenie nie jest tożsame
z "dostarczeniem do odpowiedniej osoby". Za moment o który pytasz
słusznym wydaje mi się uznanie dnia wysłania decyzji. Oczywiście
istotne są dalsze kroki organy w sytuacji, gdy decyzja nie została
doręczona skutecznie.

pozdrawiam